¿Hay infinitos primos gemelos tal que su promedio es el mínimo común múltiplo de los primeros N números naturales?

 

El código de color muestra el mcm de x e y.

Se ha conjeturado que hay infinitas parejas de números primos gemelos. Dos números primos son gemelos si su diferencia es 2, tal que su promedio es el único número  entre ellos. Este número es necesariamente par y para primos gemelos mayores de 3 también es múltiplo de 6. El primer par de primos gemelos es 3 y 5, con promedio 4. 

Tal vez una de las primeras maneras de buscar primos gemelos que se nos puede ocurrir es calcular el mínimo común múltiplo de los N primeros números naturales. Así, los dos números adyacentes a este mínimo común múltiplo no serán múltiplos de ninguno de los N primeros números naturales. Esto no garantiza que sean primos pero parece ser una buena ventaja respecto a otros conjuntos de números si queremos encontrar primos gemelos.  Veamos como funciona:

$$\text{mcm}(1,2,3) = 6, \text{  Primos gemelos: 5 7}$$

$$\text{mcm}(1,2,3,4) = 12, \text{  Primos gemelos: 11 13}$$

$$\text{mcm}(1,2,3,4,5) = 60, \text{  Primos gemelos: 59 61}$$

$$\text{mcm}(1,2,3,4,5,6) = 60, \text{  Primos gemelos: 59 61}$$

$$\text{mcm}(1,2,3,4,5,6,7) = 420, \text{  Primos gemelos: 419 421}$$

En efecto parece funcionar muy bien, pues todos los mínimos común múltiplos de los N primeros números con N menor de 8 resultan ser el promedio de primos gemelos. Pero, en verdad aquí es donde empieza a fallar. Con N=8 ya no se genera el promedio de 2 primos gemelos.  Hay que subir hasta N=19 para volver a encontrarse con gemelos:

$$\text{mcm}(1,2,3,...,19) = 232792560, \text{  Primos gemelos: 232792559 232792561}$$

 Pero bueno, sigue funcionando con algunas lagunas, el siguiente es N=47:

$$\text{mcm}(1,2,3,4,...,47)=442720643463713815200$$  con primos gemelos:

$$442720643463713815199,  442720643463713815201$$

 Y el siguiente seguramente lo encontraremos alrededor de N=100 o N=200, ¿no? Pues no, aquí aparece una laguna inmensa, comparada a las anteriores. Tan grande es la laguna que yo no he encontrado ningún N < 44983 que genere primos gemelos. Es decir he probado hasta \(\text{mcm}(1,2,3..., 44983)\)  que es un número inmenso y por ello ya no está a mi alcance buscar mucho mas allá.

En https://oeis.org/A057822 se ha explorado esta secuencia pero solo hasta N=2000. Y este trabajo de arxiv demuestra que el promedio de dos primos gemelos no se puede expresar como

$$ 36ab \pm 6a \pm 6b $$

con \(a\) y \(b\) números naturales. Tal vez los  mcm de los N primeros para N > 47 si que se pueden expresar como \(36ab \pm 6a \pm 6b \). 

El teorema \(6n+1\) de Euler dice que los primos de la forma \(6n+1\) (como el mayor de dos primos gemelos) son también de la forma \(x^2+3y^2\) para \(x\) e \(y\) naturales. Tal vez los  \(\text{mcm}(1,2,3,...,N)\) no se puedan expresar como \(x^2+3y^2-1\) para N>47.

¿Entonces? ¿es N=47 el mayor número tal que \(\text{mcm}(1,2,3,...,N)\) es el promedio de 2 primos gemelos?

Pues yo no se la respuesta y no parece que se conozca el siguiente N. ¿Lo sabes tú? 

Añado un código sencillo en Python, usando la sympy library, para el que quiera probar: 

from sympy import *

lcmi=2

for i in range(3,100000):

        print "Evaluating lcm of first", i, "numbers" 

        ni= lcm(lcmi,i)

        if ni != lcmi:

         if isprime(ni-1) and isprime(ni+1):

            print i,"lcm:", ni,"Twin primes:", ni-1, ni+1

         lcmi=ni