Igualdades del máximo común divisor en loop
El código de color muestra el resultado de calcular el \(\gcd(x,y)\) para la \(x\) en el eje horizontal y la \(y\) en el eje vertical. Como todos recordaréis el máximo común divisor (abreviado mcd o gcd, en inglés) de dos o más números enteros es el mayor número entero que los divide sin dejar residuo alguno. Por ejemplo \(\gcd(6,9,18)=3\). En la figura del encabezado podéis ver el resultado del \(\gcd(x,y)\) para un pequeño conjunto de números. Recordemos algunas de las propiedades básicas del máximo común divisor: \[\gcd(x,0)=|x|\] \[\gcd(mx,my)=m\ \gcd(x,y)\] \[\gcd(x+my,y)=\gcd(x,y)\] donde \(x,y,m\) son números enteros y \(|x|\) representa el valor absoluto de \(x\). Pues bien, aquí he demostrado que para seis números enteros positivos \(a_1, b_1, a_2, b_2, a_3, b_3\) tales que \[\gcd(a_1,b_1)=\gcd(a_2,b_2)=\gcd(a_3,b_3)\] entonces se cumple la siguiente igualdad: \[\gcd(d_{32},d_{21})=\gcd(d_{32},d_{31})=\gcd(d_{31},d_{21})\] siendo \( d_{ij} = |a_ib_j-a_jb_i