Igualdades del máximo común divisor en loop

El código de color muestra el resultado de calcular el \(\gcd(x,y)\) para la \(x\) en el eje
horizontal y la \(y\) en el eje vertical. 

Como todos recordaréis el máximo común divisor (abreviado mcd o gcd, en inglés) de dos o más números enteros es el mayor número entero que los divide sin dejar residuo alguno. Por ejemplo  \(\gcd(6,9,18)=3\). En la figura del encabezado podéis ver el resultado del \(\gcd(x,y)\) para un pequeño conjunto de números.   Recordemos algunas de las propiedades básicas del máximo común divisor:    \[\gcd(x,0)=|x|\]   \[\gcd(mx,my)=m\ \gcd(x,y)\]   \[\gcd(x+my,y)=\gcd(x,y)\] donde \(x,y,m\) son números enteros y \(|x|\) representa el valor absoluto de \(x\). Pues bien, aquí he demostrado que para seis números enteros positivos \(a_1, b_1, a_2, b_2, a_3, b_3\) tales que  \[\gcd(a_1,b_1)=\gcd(a_2,b_2)=\gcd(a_3,b_3)\]  entonces se cumple la siguiente igualdad:  \[\gcd(d_{32},d_{21})=\gcd(d_{32},d_{31})=\gcd(d_{31},d_{21})\] siendo \( d_{ij} = |a_ib_j-a_jb_i |  \). Vaya, una igualdad entre 3 gcds sobre 6 números implica otra igualdad entre también 3 gcds pero sobre otros 6 números construidos a partir de los 6 números iniciales.  Probemos los siguientes números,  \(a_1=6,\ b_1=8,\ a_2=2\), \(\ b_2=10\), \(\ a_3=4\), \(\ b_3=18\), dado que se cumple   \[\gcd(6,8)=\gcd(2,10)=\gcd(4,18)=2\] entonces para \(d_{32}=|4\times 10 - 18\times 2 |= 4\), \(\ d_{31}=|4\times 8 - 18\times 6 |= 76\) y \(\ d_{21}=|2\times 8 - 10\times 6 |= 44\) se debe cumplir que  \[\gcd(4,44)=\gcd(4,76)=\gcd(76,44)\] que en efecto, como ya habréis verificado,  estos 3 gcds dan el mismo resultado, 4.

Ahora es cuando podemos comenzar el loop  asignando las \(d_{ij}\) a las \(a_i\) y las \(b_i\) de la siguiente manera,   \[a_1=d_{32},\ b_1=d_{21},\ a_2=d_{32},\] \[\ b_2=d_{31},\ a_3=d_{31},\ b_3=d_{21}\] para poder confeccionar nuevos \(d_{ij}\)  y llegar a una nueva igualdad. Siguiendo el ejemplo anterior los nuevos \(d_{ij}\) serían  \(d_{32}=|76\times 76 - 4\times 44 |= 5600\), \(\ d_{31}=|76\times 44 - 4\times 44 |=3168 \) y \(\ d_{21}=|4\times 44 - 76\times 4 |= 128\) y la nueva igualdad es: \[\gcd(5600, 128)=\gcd( 5600, 3168)=\]\[=\gcd(3168,128)=32\]

Y el loop puede continuar hasta el infinito. Los siguientes \(d_{ij}\) serían mucho mas grandes, \(17335296,\ 30954496,\ 311296\), y los correspondientes gcds darían 19456. ¡Probad otros \(a_i,\ b_i\) iniciales!

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En verdad en el artículo mencionado, no sólo se asume que los gcds son iguales sino que son igual a 1:

\[\gcd(a_1,b_1)=\gcd(a_2,b_2)=\gcd(a_3,b_3)=1\]

pero no es  necesario que sean igual a 1, cualquier otro valor mayor valdría. ¿Puedes demostrarlo?  

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Esta entrada participa en la Edición 11.6: Conjeturas del Carnaval de Matemáticas, que en esta ocasión organiza Gaussianos.