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¿Hay infinitos primos gemelos tal que su promedio es el mínimo común múltiplo de los primeros N números naturales?

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  El código de color muestra el mcm de x e y. Se ha conjeturado que hay infinitas parejas de números primos gemelos. Dos números primos son gemelos si su diferencia es 2, tal que su promedio es el único número  entre ellos. Este número es necesariamente par y para primos gemelos mayores de 3 también es múltiplo de 6. El primer par de primos gemelos es 3 y 5, con promedio 4.  Tal vez una de las primeras maneras de buscar primos gemelos que se nos puede ocurrir es calcular el mínimo común múltiplo de los N primeros números naturales. Así, los dos números adyacentes a este mínimo común múltiplo no serán múltiplos de ninguno de los N primeros números naturales. Esto no garantiza que sean primos pero parece ser una buena ventaja respecto a otros conjuntos de números si queremos encontrar primos gemelos.  Veamos como funciona: $$\text{mcm}(1,2,3) = 6, \text{  Primos gemelos: 5 7}$$ $$\text{mcm}(1,2,3,4) = 12, \text{  Primos gemelos: 11 13}$$ $$\text{mcm}(1,2,3,4,5) = 60, \text{  Primos gemel
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Igualdades del máximo común divisor en loop

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El código de color muestra el resultado de calcular el \(\gcd(x,y)\) para la \(x\) en el eje horizontal y la \(y\) en el eje vertical.  Como todos recordaréis el máximo común divisor (abreviado mcd o gcd, en inglés) de dos o más números enteros es el mayor número entero que los divide sin dejar residuo alguno. Por ejemplo  \(\gcd(6,9,18)=3\). En la figura del encabezado podéis ver el resultado del \(\gcd(x,y)\) para un pequeño conjunto de números.   Recordemos algunas de las propiedades básicas del máximo común divisor:     \[\gcd(x,0)=|x|\]    \[\gcd(mx,my)=m\ \gcd(x,y)\]    \[\gcd(x+my,y)=\gcd(x,y)\]  donde \(x,y,m\) son números enteros y \(|x|\) representa el valor absoluto de \(x\). Pues bien, aquí  he demostrado que para seis números enteros positivos \(a_1, b_1, a_2, b_2, a_3, b_3\) tales que    \[\gcd(a_1,b_1)=\gcd(a_2,b_2)=\gcd(a_3,b_3)\]  entonces se cumple la siguiente igualdad:  \[\gcd(d_{32},d_{21})=\gcd(d_{32},d_{31})=\gcd(d_{31},d_{21})\] siendo \( d_{ij} = |a_ib_j-a_jb_i
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